第一类曲线积分

可以用来求曲线型构件的质量

$\int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[\phi(t),\psi(t)]\sqrt{[\phi’(t)]^2+[\psi’(t)]^2}dt \ =\int_\alpha^\beta f[x,\phi(x)]\sqrt{[1+\phi’(x)]^2}dx$

性质1：（线性性质）

$\forall\alpha,\beta\in R^1 \ \int_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha\int_Lf(x,y)ds+\beta\int_Lg(x,y)ds$

性质2：（积分弧段的可加性）

$\int_Lf(x,y)ds=\int_{L1}f(x,y)ds+\int_{L2}f(x,y)ds$

第二类曲线积分

用来求变力沿曲线作的功

$\int_L\overrightarrow{F}(x,y)d\overrightarrow{s}=\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy \ \int_a^b{P[\phi(t),\psi(t)]\phi’(t)+Q[\phi(t),\psi(t)]\psi’(t)}dt$

一、二类曲线积分之间的联系

$\int_LF(x,y)·dr=\int_LF(x,y)·e_Lds$

$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_L[P(x,y)i+Q(x,y)j]·[cos\alpha i+cos\beta j]ds \ =\int_L[P(x,y)cos\alpha+Q(x,y)cos\beta]ds$

定理10.3：格林公式

设平面闭区域$D$的正向边界曲线$\partial D^+$是分段光滑的，函数$P(x,y),Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数，则

$\iint_\limits{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\int_{\partial D^+}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

注意平面闭区域$D$的正向边界曲线$\partial D^+$是指逆时针的外曲线，顺时针的内曲线，两者的和

（二）平面曲线积分与路径无关的条件

定理10.4 设$G$是单连通域，($\overrightarrow F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\in C^{(1)}(G)$，则以下四个命题等价:

(1)$\forall 分段光滑闭曲线C\subset G,\oint_CPdx+Qdy=0;$

(2)$\int_LPdx+Qdy$在$G$内与路径无关；

(3)$\exists u=u(x,y),使du=Pdx+Qdy(\forall(x,y)\in G)$

(4)$在G内，\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

定理中的单连通域和P、Q两函数的可导性缺一不可。

（三）平面曲线积分基本定理

定理10.5 若$u(x,y)$是$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$在单连通域$G$上的一个原函数，则第二类曲线积分

第四节 第一类曲面积分

求曲面形构件的质量

$\iint\limits_{\sum}f(x,y,z)dS$

只有当函数$f(x,y,z)$在曲面上$\sum$上连续时，曲面积分才存在

1.线性性质

2.可加性

3.对称性

​ 如果积分区间是关于某个面对称的，则可以通过对于被积函数对称性的性质，快速解的答案。

定理10.6 设$f(x,y,z)$是定义在光滑曲面$\sum$上的连续函数，$\sum :z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$，函数$z=z(x,y)$在$D_{xy}$上具有连续的偏导数。则：