$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{(1+\frac1x)^{x^2}}{e^x}$
t24p9-4-5
$\displaystyle\lim_{x\to0}(\frac1{sin^2x}-\frac{cos^2x}{x^2})$
t24p10-6-2
$\displaystyle\lim_{x\to1}(\tan \frac\pi4x)^{\tan \frac\pi2x}$
t24p10-8
$\displaystyle\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac{1^2}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)}\end{aligned}$
t24p10-17-2
设$0<a_1<2$，又$a_{n+1}=\sqrt{a_n(2-a_n)}$
证明：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$存在
t24p11-22
易错题
不能将 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e$ 代入
幂指函数不能把的等价无穷小带入，极限没有这个运算性质
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{\displaystyle x^2\ln(1+\frac1x)-x}$
再对其进行泰勒展开
$\displaystyle e^{-\frac12}$
$\displaystyle\operatorname{lim}_{x\to0}{\frac{x^{2}-\sin^{2}x\cos^{2}x}{x^{2}\sin^{2}x}}=\operatorname{lim}_{x\to0}{\frac{x^{2}-\sin^{2}x\cos^{2}x}{x^{4}}}$
$=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x+\sin x\cos x}{x}\cdot\frac{x-\sin x\cos x}{x^{^3}}$
$\displaystyle=\frac43$
无论是$(1+x)^{\frac1x}$还是$e^{x\ln x}$都可以做出来
关键步骤是$\displaystyle\tan\frac\pi2x=\frac{\sin\frac\pi2}{\cos\frac\pi2}$
$\displaystyle e^{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac{i^2}{n^2}\right)}$
$e^{\displaystyle\ln2-2+\frac\pi2}$
$\displaystyle a_{n}>0,a_{n+1}=\sqrt{a_{n}(2-a_{n})}\leqslant\frac{a_{n}+(2-a_{n})}{2}=1$
说明有界
$a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n(2-a_n)}-a_n=\frac{2a_n(1-a_n)}{\sqrt{a_n(2-a_n)}+a_n}\geqslant0$
说明单调递增
这个题目没有用归纳推理