第一节 常数项级数的基本概念和性质
（一）常数项级数的概念
1.定义
给定数列$u_1,u_2,u_3,…,u_n,…$
无穷级数：$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+u_3+…+u_n+…$
部分和：$S_n=\sum\limits_{k=1}^n u_k=u_1+u_2+u_3+…+u_n+…$
无穷级数收敛：若$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$存在，记作 $S=\displaystyle\sum^{\infty}_{n-1} u_n$
无穷级数发散：若$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$不存在
级数的余项：$r_n=S-S_n=u_{n+1}+u_{n+2}+…$
级数收敛时，$\lim\limits_{n\to\infty}r_n=0$
（二）收敛级数的性质
性质一：若$S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty cu_n$收敛
推论一：若$c\ne 0$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$与$\sum\limits_{n=1}^\infty$敛散性相同
性质二：设收敛级数$S=\sum\limits_{n=1}^\infty u_n,\sigma=\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)$也收敛，其和为$S\pm\sigma$
| 收收为收，收发为发，发发不一定发 |
：级数前面加上（去掉、或修改）有限项，不影响级数的敛散性
性质四：收敛级数加括弧后形成的级数仍收敛于原级数的和。
推论二：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。
| 收敛级数去括弧后形成的级数不一定收敛</tr> | </table> 性质五：（级数收敛的==必要条件==） 设$S=\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，则$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$ 注意：这只是必要条件！ 例如：调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1+\frac12+\frac13+...+\frac1n+...$发散 但$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$ 推论三：若$u_n不趋向于0$，则级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$必发散。 **等比级数（几何级数）**：$\sum\limits_{n=0}^{\infty}ar^n=a+ar+ar^2+...+ar^{n-1}+...$ ==当$|r|<1$时收敛，当$|r|\ge 1$时发散。== **p级数**：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}=1+\frac1{2^p}+\frac1{3^p}+...+\frac1{n^p}+...$ 当$p=1$时，**p级数**为**调和级数**$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1n$，发散 当$p\le1$时，发散 当$p>1$时，收敛 ### 第二节 正项级数及其审敛法 #### （一）正向级数收敛的充分必要条件 定义 正向级数：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n \quad(u_n>0)$ 定理11.2 正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的充要条件是：==部分和数列$S_n$有上界。== #### （二）比较审敛法 定理11.2（比较审敛法） 设正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ (1)若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，==$u_n\le v_n$==，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$也收敛 (2)若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$发散，==$u_n\ge v_n$==，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$也发散 推论（比较审敛法） 设正向级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ (i)若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，==$u_n\le cv_n$==，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$也收敛 (ii)若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$发散，==$u_n\ge cv_n$==，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$也发散 定理11.3（极限形式的比较审敛法）设正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ 满足==$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l \quad (0\le l\le +\infty)$== 则有 （1）当 $0<l<+\infty$时，两级数同敛散； （2）当$l=0$且$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$收敛时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$也收敛； （3）当$l=+\infty$且$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$发散时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$也发散。 思考：本质上是找$u_n$的同阶无穷小 #### （三）比值审敛法和根值审敛法 定理11.4（比值审敛法） 设正向级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$满足：==$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$==$\quad 0\le\rho\le+\infty$ 则 （1）当$\rho<1$时，级数收敛； （2）当$\rho>1$或$\rho=+\infty$时，级数发散 （3）当$\rho=1$时，比值审敛法失效 > 通项中含有$n!,a^n$的级数适合用比值法判敛散 定理11.5（根植审敛法） 设正向级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$满足：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$$\quad 0\le\rho\le+\infty$ （1）当$\rho<1$时，级数收敛； （2）当$\rho>1$或$\rho=+\infty$时，级数发散 （3）当$\rho = 1$时，根植审敛法失效   ### 第三节 任意项级数的审敛法 #### 交错级数 1.定义 $u_1-u_2+u_3-...+(-1)^{n-1}u_n+...\quad (u_n>0)$ 2.定理（交错级数审敛法） 若交错级数满足： 1）$u_n\ge u_{n+1}\quad (n=1,2,...)$ 2）$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ 则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$收敛，且其和$S\le u_1$ 其余项满足$|r_n|\le u_{n+1}$ ### 第四节 幂级数 #### （一）函数项级数的一般概念 函数项级数：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...$ 收敛点（发散点）$x_0$：若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)$收敛（发散） 收敛域（发散域）$U$：收敛点（发散点）的全体。 和函数：$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x),\quad x\in U$ 收敛域 部分和：$S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x)$，余项：$r_n(x)=S(x)-S_n(x)$ 函数项级数一般通过其和函数来求收敛域  #### （二）幂级数及其收敛性 ##### 1.定义 $(x-x_0)$的幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+...+a_n(x-x_0)^n+...$ $x$的幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+...$ ##### 2.幂级数收敛域的结构 ==定理11.10（Abel定理）== （1）当$x=x_0\ne0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$收敛， 则$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n(|x|<|x_0|)$==绝对收敛== （2）当$x=x_0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$发散 则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n(|x|>|x_0|)$发散 结论： $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛域：以原点为中心的区间。幂级数==收敛与发散的分界点==：$\pm R$ （1）$R=0$时，幂级数仅在$x=0$处收敛。 （2）$R=+\infty$时，幂级数在$(-\infty,+\infty)$收敛 （3）$0<R<+\infty$时，幂级数在$(-R,R)$收敛；在$[-R,R]$外发散；==在$x=\pm R$可能收敛==（发散）。 ##### 3.收敛半径$R$的求法 定理11.11 设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$ 收敛半径$R=\begin{cases} \frac1\rho,\quad当0<\rho<+\infty时 \\ +\infty,\quad当\rho=0时 \\ 0,\quad当\rho=+\infty \end{cases}$ 结论 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径：$R=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$ **缺项幂级数直接用比值法！**  #### （三）幂级数的运算与性质 ##### 1.幂级数的四则运算性质 设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$及$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_nx^n$收敛半径分别为$R_1,R_2$，令$R=min\{R_1,R_2\}$，则 （1）加减法：$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\pm\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\pm b_n)x^n,\quad |x|<R$ （2）乘法：$(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n)(\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n,\quad |x|<R$ > 两幂级数相除所得的幂级数的收敛半径R可能比原两幂级数的收敛半径$R_1,R_2$小的多。 ##### 2.幂级数的分析运算性质 性质：若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$，则其和函数$S(x)$ （1）在收敛域$I$上连续 （2）在收敛区间内可逐项求导，逐项积分 `我感觉学这个级数就是为了学函数展开成幂级数！把一些函数可以求导。` ### 第五节、函数展开成幂级数 #### （一）函数的幂级数展开式 1.函数展开成幂级数 定义：若$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,\quad x\in I\quad (I为区间)$ 则称$f(x)$在$I$上可以展开成$(x-x_0)$的幂级数