第三章、一元函数微分学的应用

泰勒中值定理是等式！

比如 $\sqrt{1-x^2}-1 \sim -\frac{1}{2}x^2$

但是要注意如果是代换 $x+1$ 这种两项的，一定要把后面的展开也带入，有可能前面的低次项的系数会变

比如 $\int_{0}^{x^2}ln(1+t^2)dt \sim \frac13x^6$

等式嘛，怎么样都可以，只是注意皮亚诺型余项

设 $y=f(x)\,(x\in D),\,x_0\in D$ ，若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$ 时，有 $f(x)<f(x_0)$ ，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极大值点

设 $y=f(x)\,(x\in D),\,x_0\in D$ ，若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$ 时，有 $f(x)>f(x_0)$ ，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极小值点

结论1：设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处取极值，则 $f’(a)=0$ 或 $f’(a)$ 不存在，反之不对。

结论2：设 $f(x)$ 可导且在 $x=a$ 处取极值，则 $f’(a)=0$

设函数 $y=f(x)$ 在 D 上有定义，若对任意的 $x_1,x_2\in D$ 且 $x_1<x_2$ ，有 $f(x_1)<f(x_2)$ ，称 $f(x)$ 在区域 D 上为严格的增函数。

设函数 $y=f(x)$ 在 D 上有定义，若对任意的 $x_1,x_2\in D$ 且 $x_1<x_2$ ，有 $f(x_1)>f(x_2)$ ，称 $f(x)$ 在区域 D 上为严格的减函数。

（1）：若在区间 $I$ 内有 $f’(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格增加，反之不对。

（2）：若在区间 $I$ 内有 $f’(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格减少，反之不对。

一阶导数为0的点即驻点

设 $y=f(x)$ 定义于区间 $I$ 上，若对任意的 $x_1,x_2\in I$ 且 $x_1\ne x_2$ 有 ${\large f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}}$ ，则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上为凸函数。

设 $y=f(x)$ 定义于区间 $I$ 上，若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 两侧凹凸性不同，称 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点

定理1：若当 $x\in I$ 时， $f’‘(x)>0$ （个别点除外），则 $y=f(x)$ 在 $I$ 内为凹函数；若当 $x\in I$ 时， $f’‘(x)<0$ （个别点除外），则 $y=f(x)$ 在 $I$ 内为凸函数。

定理2：设 $f(x)$ 三阶可导，且 $f’‘(x_0)=0$，但 $f’’‘(x)\ne0$，则 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线 $f(x)$ 上的拐点。

若 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=A$ ，称 $y=A$ 为 $L:y=f(x)$ 的水平渐近线。

若 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ 或 $f(a-0)=\infty$ 或 $f(a+0)=\infty$ ，称 $x=a$ 为曲线 $y=f(x)$ 的铅直渐近线。

若 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a\,(a\ne0,a\ne\infty)$ ， $\displaystyle\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax]=b$ ，称 $y=ax+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线

铅直渐近线只存在于间断点

水平渐近线只存在于无穷点

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