原函数

​ 定义4.1：在区间$I$上，如果存在可导函数 $F(x)$ ，使得 $F’(x)=f(x)$ 或 $dF(x)=f(x)dx$ ，则称函数 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间$I$上的原函数。

原函数与导函数是相对的概念

原函数存在性

• 连续函数必有原函数

• 有第一类间断点的函数一定不存在原函数
• 有第二类间断点的函数可能有原函数

simple:

$F(x)=\left{\begin{matrix} x^2\sin\frac{1}{x},&x\ne 0
0,&x=0 \end{matrix}\right.$

$f(x)=\left{\begin{matrix} 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x},&x\ne 0
0,&x=0 \end{matrix}\right.$

$f(x)$ 有第二类间断点

不定积分

​ 设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)$ 的所有原函数 $F(x)+C$ 称为 $f(x)$ 的不定积分，记为 $\int f(x)dx=F(x) +C$

不定积分运算性质

• ${\Large \int}[f(x)\pm g(x)]dx={\Large \int}f(x)dx\pm{\Large \int}g(x)dx$

• ${\Large\int}kf(x)dx=k{\Large\int}f(x)dx$

不定积分积分法

• 第一类换元积分法（凑微分法）
• 第二类换元积分法
• 分部积分法
  • $\int udv=uv-\int vdu$