定积分定义

若 $\displaystyle\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$ 存在，称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积 。

定积分的数列和形式*

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)=\int_{0}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x$

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{kn}f\left(\frac{i}{n}\right)=\int_{0}^{k}f\left(x\right)dx$

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left[a+\frac{i}{n}\left(b-a\right)\right]=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$

柯西不等式*

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 \(\left(\int_a^bf\left(x\right)g\left(x\right)\mathrm{d}x\right)^2\leqslant\int_a^bf^2\left(x\right)\mathrm{d}x\int_a^bg^2\left(x\right)\mathrm{d}x\)

三角函数定积分的性质*

• $\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)\mathrm{d}x,$

• $I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\mathrm{d}x$
• 其中 $I_{2k}=\frac{\left(2k-1\right)!!}{\left(2k\right)!!}\cdot\frac{\pi}{2},I_{2k+1}=\frac{\left(2k\right)!!}{\left(2k+1\right)!!}.$
• $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$
• $I_0=\frac\pi2$
• $I_1=1$
• $I_2=\frac{\pi}{4}$

积分基本定理

定理1： $\text{设 }f\left(x\right)\in C\left[a,b\right],\text{令 }\Phi\left(x\right)=\int_{a}^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t,\text{则 }\Phi^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).$

定理2：(牛顿一莱布尼茨公式) $设f(x)\in C[a,b],且 F(x)为f(x)的一个原函数,则 $ \(\int_a^bf(x) dx=F(b)-F(a)\)

常用定积分结论*

• $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinx\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosx\,dx=1$
• $\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{\pi}{4}a^{2}$

积分方法

1. 换元积分法，其中 $\varphi(t)$ 单调连续可导，且 $\varphi(\alpha)=a,\quad\varphi(\beta)=b$

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_{a}^{\beta}f\left[\varphi\left(t\right)\right]\varphi^{\prime}\left(t\right)\mathrm{d}t$

1. 分布积分法

$\text{设 }u(x),v(x)\text{ 在}[a,b]\text{上连续可导,则}\int_a^bu\operatorname{d}v=vu\mid_a^b-\int_a^bv\operatorname{d}u.$

变上限积分函数求导*

• $\frac{d}{dx}\int_{a}^{\psi(x)}f(t)dt=f[\psi(x)]\psi’(x)$
• $\frac{d}{dx}\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)}f(t)dt=f[\psi_2(x)]\psi_2’(x)-f[\psi_1(x)]\psi_1’(x)$

证明

$\frac{du}{dx}\frac{d}{du}\int_{a}^{u}f(t)dt$

相当于复合函数求导而已

广义积分敛散性的概念

定义1：

设$f\left(x\right)\in C\left[a,+\infty\right),F\left(x\right)$为$f\left(x\right)$的一个原函数 \(\int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right).\)

若$\displaystyle\lim_{b\to+\infty}\left[F(b)-F(a)\right]=A$,称广义积分$\int _a^{+ \infty}f( x)dx$收敛于$A$,记为$\int _a^{+ \infty}f\left ( x\right )dx=A$

若$\displaystyle\lim_{b\to+\infty}\left[F\left(b\right)-F\left(a\right)\right]$不存在，称广义积分 $\int _a^{+ \infty}f(x)dx$ 发散

定义2：

设$f\left(x\right)\in C\left(-\infty,a\right],F\left(x\right)$为$f\left(x\right)$的一个原函数 \(\int_b^af\left(x\right)dx=F\left(a\right)-F\left(b\right).\)

若$\displaystyle\lim_{b\to-\infty}\left[F(a)-F(b)\right]=A$,称广义积分$\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$收敛于$A$,记为$\int_{-\infty}^{a}f\left ( x\right )dx=A$

若$\displaystyle\lim_{b\to-\infty}\left[F(a)-F(b)\right]$不存在，称广义积分 $\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$ 发散

Γ函数

Γ函数的定义

\[\Gamma(\alpha)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx\quad(\alpha>0)\]

Γ函数的性质

• $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$
• $\Gamma(n+1)=n!$
• $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$