数列极限与子数列的关系

定理：若 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a$，则${x_n}$ 的任意子数列${x_{n_k}}$ 也收敛，且 $\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}=a$

反之不一定成立，即子数列有极限不能推出原数列有极限

函数极限与数列极限的关系

如果极限$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在${x_n}$ 为函数 $f(x)$ 的定义域内任一收敛于 $x_0$ 的数列，且满足: $x_n\neq x_0(n\in\mathbb{Z}^+)$ 那么相应的函数值数列${f(x_n)}$必收敛，且$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$

极限的定义

设 $f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\displaystyle$ 是一个定义在实数上的函数。 并在某个开区间 $x>A$ 或$x<A$ 上有定义。 $L$ 是一个给定的实数。 $c$ 是一个实数，并且函数 $f$ 在 $c$ 的某个去心邻域上有定义。如果对任意的正实数 $\epsilon$ ，都存在一个正实数 $\delta$ ，使得对任意的实数 $x$ ，只要 $f$ 在点 $x$ 处有定义，并且 $x$ 在 $c$ 的某个 $\delta$ （去心）邻域中（即 $\mid x−c \mid ⩽δ$ ），就有$\mid f(x)−L \mid ⩽ \epsilon$ ，那么就称 $L$ 是函数 $f$ 在 $x$ 趋于 $c$ 时的极限，或简称 $L$ 为 $f$ 在 $c$ 的极限，记为 $\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L$ 。反之则称 $L$ 不是 $f$ 在 $x$ 趋于 $c$ 时的极限

极限为无穷，极限不存在

极限的性质

1. 唯一性：若极限存在，则极限一定唯一

2. 保号性：设 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A>0\quad(或\quad A<0)$ ，则存在 $\delta>0$ ，当$0<\mid x-a \mid<\delta$ 时，有$f(x)>0\quad (或 \quad f(x)<0)$

3. 有界性：

   1. 数列极限的有界性

   2. 函数极限的局部有界性

<font color=#0a0>极限的四则运算性质</font>

设 $\displaystyle\lim f(x)=A,\, \lim g(x) = B$ ，则

• $\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm\lim g(x)$
• $\lim f(x)g(x)=\lim f(x)\cdot\lim g(x)$

重要的是前提条件，即 $f(x),g(x)$ 极限存在才遵寻这个四则规律

函数连续的定义

• 若 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 或 $f(a-0)=f(a+0)=f(a)$ ，称 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续

• 若函数满足

1. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续
2. $f(a)=f(a+0),f(b)=f(b-0)$

称函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，记为 $f(x)\in C[a,b]$

闭区间上连续函数的性质

1. 最值定理：若 $f(x) \in C[a,b]$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定存在最大值和最小值
2. 有界定理：若 $f(x) \in C[a,b]$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定有界
3. 零点定理：若 $f(x) \in C[a,b]$ ，且 $f(a)f(b)<0$ ，则存在 $\xi \in(a,b)$ ，使得$f(\xi)=0$
4. 介值定理：若$f(x)\in C[a,b]$，对任意的 $\eta\in[m,M]$ ，其中$m,M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取到的最小值和最大值，则存在 $\xi\in[a,b]$，使得$f(\xi)=\eta$
5. 介值定理：设$a<b$ ，$f:[a,b]\rightarrow R$ 是$[a,b]$ 上的连续函数，则对任意的 $\eta\in[f(a),f(b)]$ ，则存在 $\xi\in[a,b]$，使得$f(\xi)=\eta$

极限存在准则与两个重要极限

准则1：夹逼准则

可推出第一个重要极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{sinx}{x}}=1$

根据 $\frac12sinx<\frac12x<\frac12tanx$

准则2：单调有界准则

可推出第二个重要极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$

放回抽样的没有被抽到的概率是$\frac1{e}$

复合函数的极限和连续

1. ”复合“保持连续性

假设 $v(x)$ 在 $p$ 连续，$v(y)$ 在 $v(p)$ 连续，则 $f(x)=u(v(x))$ 在 $p$ 连续

1. “复合”不能保持极限

$lim_{x\rightarrow p}v(x)=a$，$lim_{x\rightarrow a}v(x)=b$ 不能推出 $\lim_{x\rightarrow p}u(v(x))=b$

反例：

$v(x)=0$，$u(x)= \begin{cases} \frac{sinx}{x}\quad x\ne0 \ 0 \quad x=0\end{cases}$

必须多一个条件 $y=f[g(x)]$ 在 $x_0$ 的邻域内有意义，且在这个邻域内$g(x)\ne u_0$

复合函数的极限中，后面的条件 g(x)≠u 为什么很重要？

间断点的定义与分类

函数 $f(x)$ 的不连续点称为间断点

间断点的产生原因

1. $f(x)$ 在 $x_0$ 处无定义
2. $f(x)$ 在 $x_0$ 处无极限
3. $f(x)$ 在 $x_0$ 的极限不等于 $f(a)$

间断点的分类

• 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。
• 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。
• 无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为 $\infty$ 。
• 震荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。

可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。